一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点.（1）求证：PB//平面AEC；（2）若F为侧棱PA上的一点，且，则为何值时，PA平面BDF？并求此时几何体F—BDC的体积．试题及答案-解答题-云返教育

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一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，E为侧棱PD的中点.
（1）求证：PB//平面AEC；

（2）若F为侧棱PA上的一点，且

，则为何值时，PA平面BDF？并求此时几何体F—BDC的体积．

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见解析

（1）由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形，且有一角为，边长为2，
锥体高度为1。
设AC，BD和交点为O，连OE，OE为△DPB的中位线，
OE//PB， 3分
EO面EAC，PB面EAC内， PB//面AEC。 6分
（2）过O作OFPA垂足为F ,
在Rt△POA中，PO=1，AO=，PA=2，在Rt△POB中，PO=1，BO=1，PB=， 8分
过B作PA的垂线BF，垂足为F，连DF，由于△PAB≌△PAD，故DF⊥PA，DF∩BF=F，因此PA⊥面BDF. 10分
在等腰三角形PAB中解得AF=,进而得PF=" "
即当

时，PA面BDF， 12分
此时F到平面BDC的距离FH=

14分

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