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  • 如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，点D是劣弧AC上异于A，C点的一点，连接AD并延长交BC的延长线于点E．（1）求证：△BDE∽△ACE；（2）若AB=BE=10，CE=3，则AD的长是多少？（3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC交CD的延长线于点F，则CFCD-BCCE= ．（请直接写出答案）试题及答案-填空题-云返教育

      • 试题详情

      如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，点D是劣弧AC上异于A，C点的一点，连接AD并延长交BC的延长线于点E．
      （1）求证：△BDE∽△ACE；
      （2）若AB=BE=10，CE=3，则AD的长是多少？
      （3）若CD∥AB，过点A作AF∥BC交CD的延长线于点F，则
      CF
      CD
      -
      BC
      CE
      =          ．（请直接写出答案）

      试题解答

      1
      （1）证明：∵AB是⊙O的直径，
      ∴∠ACB=∠ADB=90°，
      ∴∠BDE=180°-∠ADB=90°，
      同理∠ACE=90°=∠BDE，
      ∵∠CAE=∠DBE（同弧CD所???的圆周角），
      ∴△BDE∽△ACE．

      （2）解：在△ACB中，BC=10-3=7，AB=10，
      由勾股定理得：AC=
      √AB2-CB2
      =
      √51
      ，
      同理由勾股定理求出AE=2
      √15
      ，
      ∵△BDE∽△ACE，
      ∴
      AC
      BD
      =
      AE
      BE
      ，
      ∴
      √51
      BD
      =
      2
      √15
      10
      ，
      ∴BD=
      √85
      ，
      在△ABD中，由勾股定理得：AD=
      √AB2-BD2
      =
      √102-(
      √85
      )2
      =
      √15
      ，
      答：AD的长是
      √15
      ．

      （3）解：结果是1，
      理由是：∵CD∥AB，AF∥BC，
      ∴
      BC
      CE
      =
      AD
      DE
      ，
      CF
      CD
      =
      EA
      DE
      ，
      ∴
      CF
      CD
      -
      BC
      CE
      =
      EA
      DE
      -
      AD
      DE
      =
      AD+DE
      DE
      -
      AD
      DE
      =
      AD
      DE
      +1-
      AD
      DE
      =1．
      故答案为：1．
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