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  • 等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．
      （1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
      （2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
      （3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？

      试题解答

      见解析
      解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，
      A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
      设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．由切线长定理可知C′E=C′D；
      设C′D=x，则C′E=x，易知C′F=
      √2
      x，
      ∴
      √2
      x+x=1，则x=
      √2
      -1，
      ∴CC′=BD-C′D-C′F=5-1-（
      √2
      -1）=5-
      √2
      ；
      ∴点C运动的时间为
      5-
      √2
      2
      ；

      （2）设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，
      设经过t秒△ABC的边与⊙O第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处，
      A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
      ∵CC′=2t，DD′=t，∴CD′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t．
      由切线长定理得C′E=C′D′=4-t；
      又∵FC′=
      √2
      C′E=
      √2
      C′D′
      而FC′+C′D′=FD′=1
      ∴（
      √2
      +1）C′D′=（
      √2
      +1）（4-t）=1
      解得：t=5-
      √2

      答：经过5-
      √2
      秒△ABC的边与圆第一次相切；

      （3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t，DD′=t，
      则C′D=CD+DD′-CC′=4+t-2.5t=4-1.5t．
      ∵FC′=
      √2
      C′E=
      √2
      C′D′，FC′+C′D′=FD′=1，
      ∴（
      √2
      +1）C′D′=（
      √2
      +1）（4-1.5t）=1
      解得：t=
      10-2
      √2
      3
      ，
      ∴点B运动的距离为2×
      10-2
      √2
      3
      =
      20-4
      √2
      3
      ．
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