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  • 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求∠P的度数；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
      （1）求证：PC是⊙O的切线；
      （2）求∠P的度数；
      （3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，AB=4，求线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO
      ∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB
      ∴∠A=∠ACO=∠PCB（1分）
      ∵AB是⊙O的直径
      ∴∠ACO+∠OCB=90°（2分）
      ∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP（3分）
      ∵OC是⊙O的半径
      ∴PC是⊙O的切线（4分）

      （2）解：∵PC=AC，∴∠A=∠P
      ∴∠A=∠ACO=∠P（5分）
      ∵∠A+∠ACO+∠PCO+∠P=180°
      ∴3∠P=90°
      ∴∠P=30°（6分）

      （3）解：∵点M是半圆O的中点，
      ∴CM是角平分线，
      ∴∠BCM=45°（7分）
      由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°，∴BC=
      1
      2
      AB=2（8分）
      作BD⊥CM于D，
      ∴CD=BD=
      √2
      2
      BC=
      √2
      ，
      ∴DM=
      √3
      BD=
      √6

      ∴CM=
      √2
      +
      √6
      （9分）
      ∴S      △BCM=
      1
      2
      CM?BD=
      √3
      +1（10分）
      ∵∠BOC=2∠A=60°，∴弓形BmC的面积=
      2
      3
      π-
      √3
      （11分）
      ∴线段BM、CM及弧BC所围成的图形面积为
      2
      3
      π+1（12分）
      （注：其它解法，请参照给分）
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      九年级下浙教版解答题初学数学

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