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  • 如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=4√3，PB=4，∠AEB=60°．（1）求证：△PDE∽△PCA；（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；（3）求⊙O的面积．（答案保留π）试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE分别交于C、D，PE=4
      √3
      ，PB=4，∠AEB=60°．
      （1）求证：△PDE∽△PCA；
      （2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
      （3）求⊙O的面积．（答案保留π）

      试题解答

      见解析
      （1）证明：由弦切角定理得∠PEB=∠EAB，
      ∵PC是∠APE的平分线，
      ∴∠CPE=∠CPA，
      ∴△PDE∽△PCA；

      （2）解：由切割线定理得PE      2=PA?PB，
      ∵PE=4
      √3
      ，PB=4，
      ∴PA=12，
      ∴PA+PB=16，PA?PB=48，
      ∴所求方程为：x      2-16x+48=0；

      （3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，
      则BF是⊙O的直径，
      ∴∠BAF=90°，
      ∴∠AEB=∠F=60°
      在Rt△ABF中，sin60°=
      AF
      BF
      =
      PA-PB
      BF
      =
      12-4
      BF
      =
      8
      BF
      =
      √3
      2
      ，
      ∴BF=
      16
      √3
      3
      ．
      ∴⊙O的面积为：π（
      BF
      2
      ）2=π(
      1
      2
      ×
      16
      √3
      3
      )2=
      64π
      3
      （面积单位）．
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      九年级下浙教版解答题初学数学

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