已知两个二次函数：y=f（x）=ax2+bx+1与y=g（x）=a2x2+bx+1，函数y=g（x）图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为x1，x2（x1＜x2）．（1）证明：y=f（x）在（-1，1）上是单调函数；（2）当a＞1时，设x3，x4是方程ax2+bx+1=0的两实根，且x3＜x4，当a＞1时，试判断x1，x2，x3，x4的大小关系．试题及答案-单选题-云返教育

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已知两个二次函数：y=f（x）=ax²+bx+1与y=g（x）=a²x²+bx+1，函数y=g（x）图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为x₁，x₂（x₁＜x₂）．
（1）证明：y=f（x）在（-1，1）上是单调函数；
（2）当a＞1时，设x₃，x₄是方程ax²+bx+1=0的两实根，且x₃＜x₄，当a＞1时，试判断x₁，x₂，x₃，x₄的大小关系．

试题解答

见解析

解：（1）对函数y=f（x）求导数，得f′（x）=2ax+b
所以f′（-1）f′（1）=（-2a+b）（2a+b）=b²-4a²
∵函数y=g（x）图象与x轴有两个交点
∴y=g（x）根的判别式△=b²-4a²＞0
因此，f′（-1）f′（1）＞0
一次函数f′（x）=2ax+b在区间（-1，1）的符号均为正数，或均为负数
由此可得：y=f（x）在（-1，1）上是单调函数；
（2）记函数F（x）=f（x）-1=ax²+bx，G（x）=g（x）-1=a²x²+bx
两个函数有公共的零点x=0，此外F（x）还有一个零点x=-

，G（x）还有一个零点x=-

a²

，
①因为a＞1，当b＜0时由（1）得必定有0＜-

a²

＜ -

，
在同一坐标系里作出F（x）和G（x）的图象：

将此两个图象都上移一个单位，可得函数f（x）和g（x）的图象
所以由图象可得x₁＜x₃＜x₂＜x₄②当b＞0时，同理可得四个根的大小关系：x₁＜x₃???x₂＜x₄综上所述，可判断x₁，x₂，x₃，x₄的大小关系为：x₁＜x₃＜x₂＜x₄

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必修1 人教A版单选题高中数学

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