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  • 用定义证明函数f(x)=ax+1x+2(a≠2)在（-2，+∞）上的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      用定义证明函数f(x)=
      ax+1
      x+2
      (a≠2)在（-2，+∞）上的单调性．

      试题解答

      见解析
      证明；∵函数f（x）=
      ax+1
      x+2
      =
      a(x+2)-2a+1
      x+2
      =a+
      1-2a
      x+2
      ，
      ∴任取x      1，x2∈（-2，+∞），且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（a+
      1-2a
      x1+2
      ）-（a+
      1-2a
      x2+2
      ）=
      1-2a
      x1+2
      -
      1-2a
      x2+2
      =
      (1-2a)(x2-x1)
      (x1+2)(x2+2)
      ；
      ∵-2＜x      1＜x2，∴x2-x1＞0，（x1+2）（x2+2）＞0，
      ∴当1-2a＞0，即a＜
      1
      2
      时，f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），是减函数；
      当1-2a＜0，即a＞
      1
      2
      （且a≠2）时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），是增函数；
      所以，在（-2，+∞）上，当a＜
      1
      2
      时，f（x）是减函数，a＞
      1
      2
      且a≠2时，f（x）是增函数．
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