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  • 已知函数F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）、g（x）分别为正、反比例函数，且F(1)=3，F(2)=92．（Ⅰ）求函数F（x）的解析式；（Ⅱ）判断函数F（x）在[√22，+∞）上的单调性，并用定义证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数F（x）=f（x）+g（x），其中f（x）、g（x）分别为正、反比例函数，且F(1)=3，F(2)=
      9
      2
      ．
      （Ⅰ）求函数F（x）的解析式；　　
      （Ⅱ）判断函数F（x）在[
      √2
      2
      ，+∞）上的单调性，并用定义证明．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）设f(x)=k1x，g(x)=
      k2
      x
      ，
      由
      {
      F(1)=k1+k2=3
      F(3)=2k1+
      k2
      2
      =
      9
      2
      ，解得
      {
      k1=2
      k2=1
      ，
      ∴F（x）=2x+
      1
      x
      ；
      （Ⅱ）设
      √2
      2
      ≤x1＜x2，
      则F（x      2）-F（x1）=2x2+
      1
      x2
      -（2x1+
      1
      x1
      ）
      =
      (x2-x1)(2x1x2-1)
      x1x2
      ，
      ∵
      √2
      2
      ≤x1＜x2，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，2x1x2＞1，
      ∴F（x      2）-F（x1）＞0，即F（x2）＞F（x1），
      ∴F（x）在[
      √2
      2
      ，+∞）上单调递增．
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