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  • 已知：函数f（x）=x+4x（1）判断函数的奇偶性并证明（2）证明函数f（x）在（0，2]是减函数，并求f（x）在（0，2]上的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知：函数f（x）=x+
      4
      x

      （1）判断函数的奇偶性并证明
      （2）证明函数f（x）在（0，2]是减函数，并求f（x）在（0，2]上的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意可得f（x）=x+
      4
      x
      的定义域为{x|x≠0}，
      故可得f（-x）=-x-
      4
      x
      =-（x+
      4
      x
      ）=-f（x），
      故函数为奇函数；
      （2）任取x      1，x2∈（0，2]且x1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=x1+
      4
      x1
      -（x2+
      4
      x2
      ）
      =（x      1-x2）+（
      4
      x1
      -
      4
      x2
      ）=（x1-x2）+
      4(x2-x1)
      x1x2

      =（x      1-x2）（1-
      4
      x1x2
      ）=（x1-x2）
      x1x2-4
      x1x2
      ，
      ∵x      1，x2∈（0，2]且x1＜x2，
      ∴x      1-x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2-4＜0
      ∴（x      1-x2）
      x1x2-4
      x1x2
      ＞0
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
      故函数f（x）在（0，2]是减函数，
      故当x=2时，f（x）取最小值f（2）=4．
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