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  • 已知函数f（x2-3）=logax26-x2（a＞0且a≠1）（1）求函数的解析式并判断其奇偶性．（2）探究并证明函数f（x）的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x2-3）=loga
      x2
      6-x2
      （a＞0且a≠1）
      （1）求函数的解析式并判断其奇偶性．
      （2）探究并证明函数f（x）的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（1）换元法，令t=x2-3，则x2=t+3，
      代入已知可得f(t)=log      a
      t+3
      6-(t+3)
      =loga
      3+t
      3-t

      ∴函数的解析式为：f(x)=log      a
      3+x
      3-x
      ，-3＜x＜3
      ∵f（x）+f（-x）=log      a
      3+x
      3-x
      +loga
      3-x
      3+x
      =loga(
      3+x
      3-x
      ×
      3-x
      3+x
      )=0，
      ∴f（-x）=-f（x），
      ∴函数f（x）为奇函数．
      （2）当a＞1时函数在其定义域上为增函数．
      证???如下：任取x      1，x2∈（-3，3）且x1＜x2，
      令U（x）=
      3+x
      3-x
      =-1+
      6
      3-x
      ，
      则U(x      1)-U(x2)=
      6
      3-x1
      -
      6
      3-x2
      =
      6(x1-x2)
      (3-x1)(3-x2)

      ∵x      1，x2∈（-3，3）且x1＜x2，
      ∴（x      1-x2）＜0，（3-x1）（3-x2）＞0
      ∴U（x      1）-U（x2）＜0，即U（x1）＜U（x2）
      ∴f（x      1）-f（x2），
      ∴函数f（x）为定义域上的增函数．
      同理可证当0＜a＜1时f（x）在其定义域上为减函数．
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