已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=52、f（2）=174．（1）求a、b的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

、f（2）=

．
（1）求a、b的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域．

试题解答

见解析

解：（1）由

{

f(1)=

f(2)=

得

{

2+2^a+b=

2²+2^2a+b=

解得

{

a=-1

b=0

；
（2）∵f（x）=2^x+2^-x，f（x）的定义域为R，
由f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
所以f（x）为偶函数．
（3）f（x）在[0，+∞）上为增函数．证明如下：
设x₁＜x₂，且x₁，x₂∈[0，+∞）
f(x₁)-f(x₂)=(2^x₁+2^-x₁)-(2^x₂+2^-x₂)=(2^x₁-2^x₂)+(

2^x₁

2^x₂

)=(2^x₁-2^x₂)?

2^x₁+x₂-1

2^x₁+x₂

因为x₁＜x₂且x₁，x₂∈[0，+∞）
所以2^x₁-2^x₂＜0，2^x₁+x₂＞1
所以f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数．
∴f（x）≥f（0）=2
f（x）的值域为[2，+∞）

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已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=52、f（2）=174．（1）求a、b的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

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