• (1)利用函数单调性的定义证明函数h(x)=x+3x在[√3,+∞)上是增函数;(2)我们可将问题(1)的情况推广到以下一般性的正确结论:已知函数y=x+tx有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,√t]上是减函数,在[√t,+∞)上是增函数.若已知函数f(x)=4x2-12x-32x+1,x∈[0,1],利用上述性质求出函数f(x)的单调区间;又已知函数g(x)=-x-2a,问是否存在这样的实数a,使得对于任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,若不存在,请说明理由;如存在,请求出这样的实数a的值.试题及答案-单选题-云返教育

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      (1)利用函数单调性的定义证明函数h(x)=x+
      3
      x
      在[
      3
      ,+∞)上是增函数;
      (2)我们可将问题(1)的情况推广到以下一般性的正确结论:已知函数y=x+
      t
      x
      有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,
      t
      ]上是减函数,在[
      t
      ,+∞)上是增函数.
      若已知函数f(x)=
      4x2-12x-3
      2x+1
      ,x∈[0,1],利用上述性质求出函数f(x)的单调区间;又已知函数g(x)=-x-2a,问是否存在这样的实数a,使得对于任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,若不存在,请说明理由;如存在,请求出这样的实数a的值.

      试题解答


      见解析
      解:(1)设x1,x2∈[
      3
      ,+∞),且x1<x2
      则f(x
      1)-f(x2)=x1+
      3
      x1
      -x2-
      3
      x2
      =
      (x1-x2)(x1x2-3)
      x1x2

      x2>x1
      3
      ,∴x1-x2>0,x1x2>3.
      ∴f(x
      1)-f(x2)<0,
      即f(x
      1)<f(x2),
      因此,函数在给定的区间上单调递增.
      (2)∵y=f(x)=
      4x2-12x-3
      2x+1
      =2x+1+
      4
      2x+1
      -8,
      设u=2x+1,x∈[0,1],
      则1≤u≤3,
      则y=u+
      4
      u
      -8,u∈[1,3],
      由已知性质得,
      当1≤u≤2,即0≤x≤
      1
      2
      时,f(x)单调递减,
      ∴递减区间为[0,
      1
      2
      ],
      当2≤u≤3,即
      1
      2
      ≤x≤1时,f(x)单调递增,
      ∴递增区间为[
      1
      2
      ,1].
      由f(0)=-3,f(
      1
      2
      )=-4,f(1)=-
      11
      3

      得f(x)的值域为[-4,-3],
      由于g(x)=-x-2a为减函数,
      故g(x)∈[-1-2a,-2a],x∈[0,1]
      由题意,f(x)的值域为g(x)的值域的子集,
      从而有
      {
      -1-2a≤-4
      -2a≥-3

      ∴a=
      3
      2

      ∴存在满足条件的值.
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