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(1)利用函数单调性的定义证明函数h(x)=x+3x在[√3,+∞)上是增函数;(2)我们可将问题(1)的情况推广到以下一般性的正确结论:已知函数y=x+tx有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,√t]上是减函数,在[√t,+∞)上是增函数.若已知函数f(x)=4x2-12x-32x+1,x∈[0,1],利用上述性质求出函数f(x)的单调区间;又已知函数g(x)=-x-2a,问是否存在这样的实数a,使得对于任意的x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,若不存在,请说明理由;如存在,请求出这样的实数a的值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
(1)利用函数单调性的定义证明函数h(x)=x+
3
x
在[
√
3
,+∞)上是增函数;
(2)我们可将问题(1)的情况推广到以下一般性的正确结论:已知函数y=x+
t
x
有如下性质:如果常数t>0,那么该函数在(0,
√
t
]上是减函数,在[
√
t
,+∞)上是增函数.
若已知函数f(x)=
4x
2
-12x-3
2x+1
,x∈[0,1],利用上述性质求出函数f(x)的单调区间;又已知函数g(x)=-x-2a,问是否存在这样的实数a,使得对于任意的x
1
∈[0,1],总存在x
2
∈[0,1],使得g(x
2
)=f(x
1
)成立,若不存在,请说明理由;如存在,请求出这样的实数a的值.
试题解答
见解析
解:(1)设
x
1
,x
2
∈[
√
3
,+∞),且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=x
1
+
3
x
1
-x
2
-
3
x
2
=
(x
1
-x
2
)(x
1
x
2
-3)
x
1
x
2
,
∵
x
2
>x
1
≥
√
3
,∴x
1
-x
2
>0,x
1
x
2
>3.
∴f(x
1
)-f(x
2
)<0,
即f(x
1
)<f(x
2
),
因此,函数在给定的区间上单调递增.
(2)∵y=f(x)=
4x
2
-12x-3
2x+1
=2x+1+
4
2x+1
-8,
设u=2x+1,x∈[0,1],
则1≤u≤3,
则y=u+
4
u
-8,u∈[1,3],
由已知性质得,
当1≤u≤2,即0≤x≤
1
2
时,f(x)单调递减,
∴递减区间为[0,
1
2
],
当2≤u≤3,即
1
2
≤x≤1时,f(x)单调递增,
∴递增区间为[
1
2
,1].
由f(0)=-3,f(
1
2
)=-4,f(1)=-
11
3
,
得f(x)的值域为[-4,-3],
由于g(x)=-x-2a为减函数,
故g(x)∈[-1-2a,-2a],x∈[0,1]
由题意,f(x)的值域为g(x)的值域的子集,
从而有
{
-1-2a≤-4
-2a≥-3
,
∴a=
3
2
,
∴存在满足条件的值.
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