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  • （1）利用函数单调性的定义证明函数h（x）=x+3x在[√3，+∞）上是增函数；（2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数y=x+tx有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，√t]上是减函数，在[√t，+∞)上是增函数．若已知函数f(x)=4x2-12x-32x+1，x∈[0，1]，利用上述性质求出函数f（x）的单调区间；又已知函数g（x）=-x-2a，问是否存在这样的实数a，使得对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，若不存在，请说明理由；如存在，请求出这样的实数a的值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      （1）利用函数单调性的定义证明函数h（x）=x+
      3
      x
      在[
      √3
      ，+∞）上是增函数；
      （2）我们可将问题（1）的情况推广到以下一般性的正确结论：已知函数y=x+
      t
      x
      有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在(0，
      √t
      ]上是减函数，在[
      √t
      ，+∞)上是增函数．
      若已知函数f(x)=
      4x2-12x-3
      2x+1
      ，x∈[0，1]，利用上述性质求出函数f（x）的单调区间；又已知函数g（x）=-x-2a，问是否存在这样的实数a，使得对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，若不存在，请说明理由；如存在，请求出这样的实数a的值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设x1，x2∈[
      √3
      ，+∞)，且x1＜x2，
      则f(x      1)-f(x2)=x1+
      3
      x1
      -x2-
      3
      x2
      =
      (x1-x2)(x1x2-3)
      x1x2
      ，
      ∵      x2＞x1≥
      √3
      ，∴x1-x2＞0，x1x2＞3．
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      因此，函数在给定的区间上单调递增．
      （2）∵y=f(x)=
      4x2-12x-3
      2x+1
      =2x+1+
      4
      2x+1
      -8，
      设u=2x+1，x∈[0，1]，
      则1≤u≤3，
      则y=u+
      4
      u
      -8，u∈[1，3]，
      由已知性质得，
      当1≤u≤2，即0≤x≤
      1
      2
      时，f（x）单调递减，
      ∴递减区间为[0，
      1
      2
      ]，
      当2≤u≤3，即
      1
      2
      ≤x≤1时，f（x）单调递增，
      ∴递增区间为[
      1
      2
      ，1]．
      由f(0)=-3，f(
      1
      2
      )=-4，f(1)=-
      11
      3
      ，
      得f（x）的值域为[-4，-3]，
      由于g（x）=-x-2a为减函数，
      故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]
      由题意，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，
      从而有
      {
      -1-2a≤-4
      -2a≥-3
      ，
      ∴a=
      3
      2
      ，
      ∴存在满足条件的值．
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