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  • 已知???数f(x)=1a-1x(a＞0， x＞0)（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并用函数单调性定义加以证明；（Ⅱ）若f（x）在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值；（Ⅲ）当m，n∈（0，+∞），若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知???数f(x)=
      1
      a
      -
      1
      x
      (a＞0， x＞0)
      （Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并用函数单调性定义加以证明；
      （Ⅱ）若f（x）在[
      1
      2
      ，2]上的值域是[
      1
      2
      ，2]，求a的值；
      （Ⅲ）当m，n∈（0，+∞），若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m＜n），求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）证明：设x2＞x1＞0，则x2-x1＞0，x1x2＞0，
      ∵f(x      2)-f(x1)=(
      1
      a
      -
      1
      x2
      )-(
      1
      a
      -
      1
      x1
      )=
      1
      x1
      -
      1
      x2
      =
      x2-x1
      x1x2
      ＞0，
      ∴f（x      2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
      （2）∵f（x）在[
      1
      2
      ，2]上单调递增，∴f(
      1
      2
      )=
      1
      2
      ，f(2)=2，易得a=
      2
      5
      ．
      （3）依题意得
      {
      f(m)=m
      f(n)=n
      ?
      {
      1
      a
      -
      1
      m
      =m
      1
      a
      -
      1
      n
      =n
      ?
      {
      am2-m+a=0
      an2-n+a=0

      又∵0＜m＜n，∴方程ax      2-x+a=0有两个不等正实数根x1，x2
      又∵a＞0，对称轴x=
      1
      2a
      ＞0∴
      {
      △=1-4a2＞0
      x1+x2=
      1
      a
      ＞0
      x1x2=1＞0
      ?0＜a＜
      1
      2

      ∴实数a的取值范围为(0，
      1
      2
      )．
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