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  • 设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．（1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；（2）求f（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）|x-a|．
      （1）当a=1时，判断函数f（x）在（1，+∞）的单调性并用定义证明；
      （2）求f（x）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=1，x＞1时，f（x）=2x2+（x-1）|x-1|=2x2+（x-1）2 =3x2-2x+1，…（1分）
      则函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．
      证明：设1＜x      1＜x2，由于f（x1）-f（x2）=3x12-2x1+1-(3x22-2x2+1)=（x1-x2）[3（x1+x2）-2]，…（4分）
      ∵x      1＜x2，∴x1-x2＜0，∵1＜x1＜x2，∴x1+x2＞2，从而得3（x1+x2）-2＞0，
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．…（6分）
      （2）∵当x≥a时，f（x）=3x      2-2ax+a2，…（7分）
      故 f(x)      min=
      {
      f(a)，a≥0
      f(
      a
      3
      )，a＜0
      =
      {
      2a2，a≥0
      2a2
      3
      ，a＜0
      ．…（9分）
      当x≤a时，f（x）=x      2+2ax-a2，…（10分）
      f(x)      min=
      {
      f(-a)，a≥0
      f(a)，a＜0
      =
      {
      -2a2，a≥0
      2a2，a＜0
      ．…（12分）
      综上，f(x)      min=
      {
      -2a2，a≥0
      2a2
      3
      ，a＜0
      ．…（14分）
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