若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=f(x)x在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．（2）证明函数h（x）=x2+a2x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”．试题及答案-单选题-云返教育

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若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=

f(x)

在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x²+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．
（2）证明函数h（x）=x²+a²x+4（a是常数且a∈R）在（0，1]上是“弱增函数”．

见解析

解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=

f(x)

=1+

在（1，2）上是减函数，
所以f（x）=x+4在（1，2???上是“弱增函数”，g（x）=x²+4x在（1，2）上是增函数，但

g(x)

=x+4在（1，2）上不是减函数，
所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为h（x）=x²+a²?x+4的对称轴为x=-

a²

≤0，开口向上，所以h（x）在???0，1]上是增函数．
下面证明函数F（x）=

h(x)

=x+

+a²在（0，1]上是减函数．
设0＜x₁＜x₂≤1，
则F(x₁)-F(x₂)=(x₁+

x₁

+a²)-(x₂+

x₂

+a²)=

(x₁-x₂)(x₁x₂-4)

x₁x₂

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴F(x₁)-F(x₂)=

(x₁-x₂)(x₁x₂-b)

x₁x₂

＞0，即F（x₁）＞F（x₂）．
所以F（x）在（0，1]上单调递减，
所以h（x）在（0，1]上是“弱增函数”；

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