已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x1x2）=f（x1）-f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）的值．（2）判断f（x）的单调性．（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x₁

x₂

）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值．
（2）判断f（x）的单调性．
（3）若f（3）=-1，解不等式f（|x|）＜-2．

见解析

解：（1）令x₁=x₂＞0，代入原式可得：
f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0，
故f（1）的值为0；
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＞x₂，则

x₁

x₂

＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（

x₁

x₂

）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f???x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数；
（3）由f（

x₁

x₂

）=f（x₁）-f（x₂）得f（

）=f（9）-f（3），
因为f（3）=-1，所以f（9）=-2，
所以不等式f（|x|）＜-2可化为f（|x|）＜f（9），
由于函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数，
所以|x|＞9，解得x＞9，或x＜-9，
故不等式的解集为{x|x＞9，???x＜-9}

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