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  • 设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）=-1（1）求f（1）和f（12）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）的定义域是（0，+∞），对任意正实数m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）=-1
      （1）求f（1）和f（
      1
      2
      ）的值；
      （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），
      ∴f（1）=0（2分）
      令 m=2，n=
      1
      2
      ，则 f(1)=f(2×
      1
      2
      )=f(2)+f(
      1
      2
      )，
      ∴f(
      1
      2
      )=f(1)-f(2)=1（4分）

      （2）设0＜x      1＜x2，则
      x2
      x1
      ＞1
      ∵当x＞1时，f（x）＜0
      ∴f(
      x2
      x1
      )＜0（6分）
      f(x      2)=f(x1×
      x2
      x1
      )=f(x1)+f(
      x2
      x1
      )＜f(x1)（9分）
      所以f（x）在（0，+∞）上是减函数（10分）．
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