已知α∈R，f（x）=（x2-2）（x-a）．（Ⅰ）求f（x）的导函数f′（x）；（Ⅱ）若f′（1）=0．求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若|a|＜52，求证：当x∈（-∞，-2）和x∈（-2，+∞）时，f（x）都是单调增函数．试题及答案-单选题-云返教育

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已知α∈R，f（x）=（x²-2）（x-a）．
（Ⅰ）求f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）若f′（1）=0．求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若|a|＜

，求证：当x∈（-∞，-2）和x∈（-2，+∞）时，f（x）都是单调增函数．

见解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²-2x+2a
∴f'（x）=3x²-2ax-2
（Ⅱ）由f′(1)=0，得a=

，则f（x）=（x²-2）（x-

），f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2）
令f′（x）=0解得x=1或x=-

当x在区间[-1，2]上变化时，y′，y的变化情况如下表：

又f(-

，f(1)=-

∴f（x）在区间[-1，2]的最大值为f（2）=3，最小值为f(1)=-

．
（Ⅲ）证明：∵f′(x)=3x²-2ax-2=3(x-

a)²-

6+a²

，
又|a|＜

，

|a|

＜

＜1，∴-1＜

＜1，
∴当x∈（-∞，-2）和（2，+∞）时，f'（x）＞f'（2）或f'（x）＞f'（-2）．
∵|a|＜

，∴f′(2)=4(

-a)＞0，f′(-2)=4(

+a)＞0
∴f（x）在x∈（-∞，-2）和（2，+∞）上都是增函数．

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