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  • 已知函数f （x）=|x|x+2（1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；（2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；（3）若关于x的方程f （x）=k x2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f （x）=
      |x|
      x+2

      （1）判断f （x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明；
      （2）若关于x的方程f （x）=k有根在[2，3]内，求实数k的取值范围；
      （3）若关于x的方程f （x）=k x      2有四个不同的实数根，求实数k的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当x＞0时，f （x）=
      |x|
      x+2
      =
      x
      x+2
      =1-
      2
      x+2

      设0＜x      1＜x2
      ∴f(x      1)-f(x2)=1-
      2
      2+x1
      -1+
      2
      2+x2

      =
      2
      2+x2
      -
      2
      2+x1
      =
      2(x1-x2)
      (2+x1)(2+x2)

      ∵0＜x      1＜x2
      ∴2（x      1-x2）＜0，（2+x1）（2+x2）＞0
      ∴
      2(x1-x2)
      (2+x1)(2+x2)
      ＜0
      ∴f（x      1）＜f（x2）
      ∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增
      （2）当x∈[2，3]时，f（x）=
      x
      x+2
      =1-
      2
      2+x

      ∴4≤2+x≤5，
      2
      5
      ≤
      2
      2+x
      ≤
      1
      2

      ∴
      1
      2
      ≤1-
      2
      2+x
      ≤
      3
      5

      ∵f（x）=k在[2，3]上有解，则
      1
      2
      ≤k≤
      3
      5

      （3）f（x）=kx      2有四个根，即
      |x|
      x+2
      =kx2（*）有四个根
      当x=0时，是方程（*）的1个根
      则
      |x|
      x+2
      =kx2有3个不为0的根
      而
      1
      k
      =
      {
      x(x+2)，x＞0
      -x(x+2)，x＜0
      结合函数g（x）=
      {
      x(x+2)，x＞0
      -x(x+2)，x＜0
      的图象可知满足条件时有0＜
      1
      k
      ＜1
      ∴k＞1
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