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  • 已知函数f(x)=log21+x1-x．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；（Ⅲ）判断并证明函数的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=log2
      1+x
      1-x
      ．
      （Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
      （Ⅱ）证明函数f（x）为奇函数；
      （Ⅲ）判断并证明函数的单调性．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）由
      1+x
      1-x
      ＞0，可得
      {
      1+x＞0
      1-x＞0
      或
      {
      1+x＜0
      1-x＜0.

      可得-1＜x＜1．
      即函数f（x）的定义域为（-1，1）． …（4分）
      （Ⅱ）由f(-x)=log      2
      1-x
      1+x
      =-log2
      1+x
      1-x
      =-f(x)，
      所以函数f（x）为奇函数． …（8分）
      （Ⅲ）任取x      1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=log2
      1+x1
      1-x1
      -log2
      1+x2
      1-x2

      =log      2
      (1+x1)(1-x2)
      (1-x1)(1+x2)

      =log      2
      1+x1-x2+x1x2
      1-x1+x2+x1x2
      ，
      由x      1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
      可知0＜1+x      1-x2+x1x2＜1-x1+x2+x1x2，
      所以
      1+x1-x2+x1x2
      1-x1+x2+x1x2
      ＜1，
      可得log      2
      1+x1-x2+x1x2
      1-x1+x2+x1x2
      ＜0，
      即f（x      1）＜f（x2），
      所以函数f（x）在（-1，1）为增函数． …（12分）
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