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  • 已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，√a]上是减函数，在[√a，+∞）上是增函数．（Ⅰ）如果函数y=x+2bx（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；（Ⅱ）研究函数y=x2+cx2（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；（Ⅲ）对函数y=x+ax和y=x2+ax2（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+1x）n+（1x2+x）n（n是正整数）在区间[12，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数y=x+
      a
      x
      有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
      √a
      ]上是减函数，在[
      √a
      ，+∞）上是增函数．
      （Ⅰ）如果函数y=x+
      2b
      x
      （x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
      （Ⅱ）研究函数y=x      2+
      c
      x2
      （常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
      （Ⅲ）对函数y=x+
      a
      x
      和y=x2+
      a
      x2
      （常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+
      1
      x
      ）n+（
      1
      x2
      +x）n（n是正整数）在区间[
      1
      2
      ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

      试题解答

      见解析
      解：（1）函数y=x+
      2b
      x
      （x＞0）的最小值是2
      √2b
      ，则2
      √2b
      =6，
      ∴b=log      29．
      （2）设0＜x      1＜x2，y2-y1=x
      2
      2
      +
      c
      x
      2
      2
      -x
      2
      1
      -
      c
      x
      2
      1
      =(x
      2
      2
      -x
      2
      1
      )(1-
      c
      x
      2
      1
      ?x
      2
      2
      )．
      当
      4√c
      ＜x1＜x2时，y2＞y1，函数y=x2+
      c
      x2
      在[
      4√c
      ，+∞）上是增函数；
      当0＜x      1＜x2＜
      4√c
      时y2＜y1，函数y=x2+
      c
      x2
      在（0，
      4√c
      ]上是减函数．
      又y=      x2+
      c
      x2
      是偶函数，于是，
      该函数在（-∞，-
      4√c
      ]上是减函数，在[-
      4√c
      ，0）上是增函数；
      （3）可以把函数推广为y=      xn+
      a
      xn
      （常数a＞0），其中n是正整数．
      当n是奇数时，函数y=      xn+
      a
      xn
      在（0，
      2n√a
      ]上是减函数，在[
      2n√a
      ，+∞）上是增函数，
      在（-∞，-
      2n√a
      ]上是增函数，在[-
      2n√a
      ，0）上是减函数；
      当n是偶数时，函数y=      xn+
      a
      xn
      在（0，
      2n√a
      ]上是减函数，在[
      2n√a
      ，+∞）上是增函数，
      在（-∞，-
      2n√a
      ]上是减函数，在[-
      2n√a
      ，0）上是增函数；
      F（x）=(x      2+
      1
      x
      )n+(
      1
      x2
      +x)n
      =      C
      0
      n
      (x2n+
      1
      x2n
      )+C
      1
      n
      (x2n-2+
      1
      x2n-3
      )+…+C
      r
      n
      (x2n-3r+
      1
      x2n-3r
      )+…+C
      n
      n
      (xn+
      1
      xn
      )，
      因此F（x）在[
      1
      2
      ，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．
      所以，当x=
      1
      2
      或x=2时，F（x）取得最大值（
      9
      2
      ）n+（
      9
      4
      ）n；
      当x=1时F（x）取得最小值2      n+1；
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