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  • 已知f（x）=x|x-a|-2．（1）当a=0时，求函数y=f（x）+1的零点；（2）若a＞0，求f（x）的单调区间；（3）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f（x）=x|x-a|-2．
      （1）当a=0时，求函数y=f（x）+1的零点；
      （2）若a＞0，求f（x）的单调区间；
      （3）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=0时，y=f（x）+1=f（x）=x|x|-2+1，
      当x≥0?x      2=1?x=1或x=-1（负舍），
      当x＜0?x      2=-1不成立，
      故y=f（x）+1的零点为 1
      （2）f(x)=x|x-a|-2=
      {
      x2-ax-2=(x-
      a
      2
      )2-2-
      a2
      4
      ，x＞a
      -x2+ax-2=-(x=
      a
      2
      )2-2+
      a2
      4
      ，x≤a.
      当a＞0，f（x）单调递增区间(-∞，
      a
      2
      )和（a，+∞），单调递减区间[
      a
      2
      ，a]
      （3）（i）当x=0时，显然f（x）＜0成立；
      （ii）当x∈（0，1]时，由f（x）＜0，可得x-
      2
      x
      ＜a＜x+
      2
      x
      ，
      令g(x)=x-
      2
      x
      (x∈(0，1])，h(x)=x+
      2
      x
      (x∈(0，1])，则有[g（x）]max＜a＜[h（x）]min．由g（x）单调递增，可知[g（x）]miax=g（1）=-1．又h(x)=x+
      2
      x
      =(
      √
      2
      x
      -
      √x
      )2+2(x∈(0，1])是单调减函数，故[h（x）]min=h（1）=3，故所求a的取值范围是（-1，3）．
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