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设函数f（x）=ax-1x+1，其中a∈R（1）解不等式f（x）≤-1；（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=

ax-1

x+1

，其中a∈R
（1）解不等式f（x）≤-1；
（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

试题解答

见解析

解：（1）不等式f（x）≤-1 即为

ax-1

x+1

≤-1，即

(a+1)x

x+1

≤0．
当a＜-1时，不等式解集为（-∞，-1）∪[0，+∞）；
当a=-1时，不等式解集为（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
当a＞-1时，不等式解集为（-1，0]．
（2）在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，
则 f（x₁）-f（x₂）=

ax₁-1

x₁+1

-

ax₂-1

x₂+1

=

(a+1)(x₁-x₂)

(x₁+1)(x₂+1)

．
由题设可得，x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴当a+1＜0，即a＜-1时，

(a+1)(x₁-x₂)

(x₁+1)(x₂+1)

＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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