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  • 已知二次函数f（x）=ax2+|a-1|x+a．（1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）关于x不等式f(x)x≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；（3）函数g（x）=f（x）+1-(a-1)x2x在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知二次函数f（x）=ax2+|a-1|x+a．
      （1）函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
      （2）关于x不等式
      f(x)
      x
      ≥2在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
      （3）函数g（x）=f（x）+
      1-(a-1)x2
      x
      在（2，3）上是增函数，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：显然a≠0（1）若a＞0，f（x）的增区间为-
      |a-1|
      2a
      ，+∞），而函数f（x）在（-∞，-1）上单调递增，不符合题意；
      若a＜0，则f（x）=ax      2+（1-a）x+a，其增区间为（-∞，-
      1-a
      2a
      ）．
      又f（x）在（-∞，-1）上单调递增，所以有-
      1-a
      2a
      ≥-1，解得a≤
      1
      3
      ，
      故a＜0，所以实数a的取值范围为：a＜0．
      （2）
      f(x)
      x
      ≥2即ax+
      a
      x
      +|a-1|≥2，令g（x）=ax+
      a
      x
      +|a-1|，
      则
      f(x)
      x
      ≥2在x∈[1，2]上恒成立，等价于gmin（x）≥2，
      g′（x）=a-
      a
      x2
      =
      a(x+1)(x-1)
      x2
      ，
      ①当a＞0时，x∈[1，2]，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上递增，
      g      min（x）=g（1）=2a+|a-1|≥2，解得a≥1；
      ②当a＜0时，g′（x）≤0，此时g（x）在[1，2]上递减，
      g      min（x）=g（2）=2a+
      a
      2
      +|a-1|=
      3
      2
      a+1≥2，解得a≥
      2
      3
      ，（舍）
      综上，实数a的取值范围为a≥1．
      （3）g（x）=ax      2+
      1
      x
      +a在（2，3）上是增函数，
      设2＜x      1＜x2＜3，则g（x1）＜g（x2），
      a      x12+
      1
      x1
      +a＜ax22+
      1
      x2
      +a，a（x1+x2）（x1-x2）＜
      x1-x2
      x1x2
      ，
      因为2＜x      1＜x2＜3，所以a＞
      1
      x1x2(x1+x2)
      ，
      而
      1
      x1x2(x1+x2)
      ∈（
      1
      54
      ，
      1
      16
      ），
      所以a≥
      1
      16
      ．
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