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  • 对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．（1）求函数y=x2的所有“保值”区间；（2）函数y=x2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      对于区间[a，b]（a＜b），若函数y=f（x）同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“保值”区间．
      （1）求函数y=x      2的所有“保值”区间；
      （2）函数y=x      2+m（m≠0）是否存在“保值”区间？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（1）因为函数y=x2的值域是[0，+∞），且y=x2在[a，b]的值域是[a，b]，
      所以[a，b]?[0，+∞），所以a≥0，从而函数y=x      2在区间[a，b]上单调递增，
      故有
      {
      a2=a
      b2=b.
      解得
      {
      a=0，或 a=1
      b=0，或 b=1.

      又a＜b，所以
      {
      a=0
      b=1.
      所以函数y=x2的“保值”区间为[0，1]．…（3分）
      （2）若函数y=x      2+m（m≠0）存在“保值”区间，则有：
      ①若a＜b≤0，此时函数y=x      2+m在区间[a，b]上单调递减，
      所以
      {
      a2+m=b
      b2+m=a.
      消去m得a2-b2=b-a，整理得（a-b）（a+b+1）=0．
      因为a＜b，所以a+b+1=0，即 a=-b-1．又
      {
      b≤0
      -b-1＜b
      所以 -
      1
      2
      ＜b≤0．
      因为 m=-b      2+a=-b2-b-1=-(b+
      1
      2
      )2-
      3
      4
      (-
      1
      2
      ＜b≤0)，所以 -1≤m＜-
      3
      4
      ．…（6分）
      ②若b＞a≥0，此时函数y=x      2+m在区间[a，b]上单调递增，
      所以
      {
      a2+m=a
      b2+m=b.
      消去m得a2-b2=a-b，整理得（a-b）（a+b-1）=0．
      因为a＜b，所以 a+b-1=0，即 b=1-a．又
      {
      a???0
      a＜1-a
      所以 0≤a＜
      1
      2
      ．
      因为 m=-a      2+a=-(a-
      1
      2
      )2+
      1
      4
      (0≤a＜
      1
      2
      )，所以 0≤m＜
      1
      4
      ．
      因为 m≠0，所以 0＜m＜
      1
      4
      ．…（9分）
      综合 ①、②得，函数y=x      2+m（m≠0）存在“保值”区间，此时m的取值范围是[-1， -
      3
      4
      )∪(0，
      1
      4
      )．…（10分）
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