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  • 已知函数f（x）=x+12x+2，x∈[1，+∞）．（Ⅰ）判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）解不等式：f（2x-12）＜f（x+1007）．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x+
      1
      2x
      +2，x∈[1，+∞）．
      （Ⅰ）判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性；
      （Ⅱ）解不等式：f（2x-
      1
      2
      ）＜f（x+1007）．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）设x2＞x1≥1，
      则f（x      1）-f（x2）=x1+
      1
      2x1
      -x2-
      1
      2x2
      =（x1-x2）+
      x2-x1
      2x1?x2
      =（x1-x2）?（1-
      1
      2x1?x2
      ）．
      由题设可得x      1-x2＜0，1-
      1
      2x1?x2
      ＞0，
      ∴（x      1-x2）?（1-
      1
      2x1?x2
      ）＜0，
      故有f（x      1）-f（x2）＜0，
      故函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数．
      （Ⅱ）∵函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，
      ∴f（2x-
      1
      2
      ）＜f（x+1007），
      等价于
      {
      2x-
      1
      2
      ≥1
      2x-
      1
      2
      ＜x+1007
      ．
      解得
      3
      4
      ≤x＜
      2015
      2
      ，
      故原不等式解集为[
      3
      4
      ，
      2015
      2
      ）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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