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已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+1x+2的图象关于点A（0，1）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=x2?[f（x）-a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+

1

x

+2的图象关于点A（0，1）对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）=x²?[f（x）-a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

解：（I）设f（x）的图象上任一点P（x，y），
则点P关于点A（0，1）对称P′（-x，2-y）在h（x）的图象上，
∴2-y=-x-

1

x

+2，得y=x+

1

x

，即f（x）=x+

1

x

，
（II）由（I）得，g（x）=x²?[f（x）-a]=x²?[x+

1

x

-a]=x³-ax²+x，
则g′（x）=3x²-2ax+1，
∵g（x）在区间[1，2]上为增函数，
∴3x²-2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，
即a≤

1

2

（3x+

1

x

）在区间[1，2]上恒成立，
∵y=3x+

1

x

在区间[1，2]上递增，故此函数的最小值为y=4，
则a≤

1

2

×4=2．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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