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已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A(0,1)对称.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若g(x)=x2?[f(x)-a],且g(x)在区间[1,2]上为增函数,求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+
1
x
+2的图象关于点A(0,1)对称.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若g(x)=x
2
?[f(x)-a],且g(x)在区间[1,2]上为增函数,求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(I)设f(x)的图象上任一点P(x,y),
则点P关于点A(0,1)对称P′(-x,2-y)在h(x)的图象上,
∴2-y=-x-
1
x
+2,得y=x+
1
x
,即f(x)=x+
1
x
,
(II)由(I)得,g(x)=x
2
?[f(x)-a]=x
2
?[x+
1
x
-a]=x
3
-ax
2
+x,
则g′(x)=3x
2
-2ax+1,
∵g(x)在区间[1,2]上为增函数,
∴3x
2
-2ax+1≥0在区间[1,2]上恒成立,
即a≤
1
2
(3x+
1
x
)在区间[1,2]上恒成立,
∵y=3x+
1
x
在区间[1,2]上递增,故此函数的最小值为y=4,
则a≤
1
2
×4=2.
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