• 已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+1x+2的图象关于点A(0,1)对称.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若g(x)=x2?[f(x)-a],且g(x)在区间[1,2]上为增函数,求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育

    • 试题详情

      已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+
      1
      x
      +2的图象关于点A(0,1)对称.
      (Ⅰ)求f(x)的解析式;
      (Ⅱ)若g(x)=x
      2?[f(x)-a],且g(x)在区间[1,2]上为增函数,求实数a的取值范围.

      试题解答


      见解析
      解:(I)设f(x)的图象上任一点P(x,y),
      则点P关于点A(0,1)对称P′(-x,2-y)在h(x)的图象上,
      ∴2-y=-x-
      1
      x
      +2,得y=x+
      1
      x
      ,即f(x)=x+
      1
      x

      (II)由(I)得,g(x)=x
      2?[f(x)-a]=x2?[x+
      1
      x
      -a]=x3-ax2+x,
      则g′(x)=3x
      2-2ax+1,
      ∵g(x)在区间[1,2]上为增函数,
      ∴3x
      2-2ax+1≥0在区间[1,2]上恒成立,
      即a≤
      1
      2
      (3x+
      1
      x
      )在区间[1,2]上恒成立,
      ∵y=3x+
      1
      x
      在区间[1,2]上递增,故此函数的最小值为y=4,
      则a≤
      1
      2
      ×4=2.

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