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  • 已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|，g（x）=（a+1）x，（a∈R，a≠-2）．（1）若函数f（x）和g（x）在区间[lg|a+2|，（a+1）2]上都是减函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，比较f（1）与16的大小，写出理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|，g（x）=（a+1）x，（a∈R，a≠-2）．
      （1）若函数f（x）和g（x）在区间[lg|a+2|，（a+1）      2]上都是减函数，求实数a的取值范围；
      （2）在（1）的条件下，比较f（1）与
      1
      6
      的大小，写出理由．

      试题解答

      见解析
      解：由题意知
      （1）由g（x）=（a+1）x为减函数得：a＜-1
      f(x)=(x+
      a+1
      2
      )2+lg|a+2|-
      (a+1)2
      4
      ；
      当-
      a+1
      2
      ≥(a+1)2，即-
      3
      2
      ≤a≤-1时，f（x）为减函数
      ∴当-
      3
      2
      ≤a＜-1时，f（x）和g（x）都是减函数
      且此时，lg|a+2|＜0＜（a+1）      2，
      ∴a的取值范围是[-
      3
      2
      ，-1)
      （2）由f(1)=a+2+lg|a+2|=a+2+lg(a+2)，(-
      3
      2
      ≤a＜-1)
      令h（a）=f（1）=a+2+lg|a+2|=a+2+lg(a+2)，(-
      3
      2
      ≤a＜-1)
      对任意-
      3
      2
      ≤a1＜a2＜-1，
      h(a      1)-(a2)=[a1+2+lg(a1+2)]-[a2+2+lg(a2+2)]=(a1-a2)+lg
      a1+2
      a2+2
      ＜0
      所以h（a）在区间[-
      3
      2
      ，-1)上为增函数；
      故f(1)=h(a)≥h(-
      3
      2
      )=
      1
      2
      -lg2
      ∴f(1)-
      1
      6
      ≥
      1
      2
      -lg2-
      1
      6
      =
      1
      3
      -lg2＞0
      ∴f（1）＞
      1
      6
      ．
      故：（1）a的取值范围是[-
      3
      2
      ，-1)；（2）f（1）＞
      1
      6
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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