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  • 设函数f(x)=|x-1x|（Ⅰ）求函数的定义域，并求f（x）的单调区间；（Ⅱ）是否存在正实数a，b（a＜b），使函数f（x）的定义域为[a，b]时值域为[a8，b8]，若存在，求a，b 的值，若不存在，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f(x)=|
      x-1
      x
      |
      （Ⅰ）求函数的定义域，并求f（x）的单调区间；
      （Ⅱ）是否存在正实数a，b（a＜b），使函数f（x）的定义域为[a，b]时值域为[
      a
      8
      ，
      b
      8
      ]，若存在，求a，b 的值，若不存在，请说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），（1分）
      ∵f(x)=
      {
      1
      x
      -1，x∈(0，1]
      1-
      1
      x
      ，x∈(1，+∞)∪(-∞，0)
      ，（3分）
      ∴x∈（0，1]时，f′(x)=-
      1
      x2
      ＜0，（5分）
      x∈（1，+∞）∪（-∞，0）时，f′(x)=
      1
      x2
      ＞0，
      f（x）的递减区间为（0，1]，为（1，+∞）和（-∞，0），（7分）
      （Ⅱ）假设存在符合题设的正实数a，b，那么有如下三种情况：
      若0＜a＜b≤1时有
      {
      f(a)=
      1
      a
      -1=
      b
      8
      f(b)=
      1
      b
      -1=
      a
      8
      ，即
      {
      8-8a=ab
      8-8b=ab
      ，解得a=b，与a＜b矛盾． （9分）
      若0＜a＜1＜b时有 f(1)=0∈[
      a
      8
      ，
      b
      8
      ]，那么a≤0＜b，这与a＞0矛盾． （11分）
      若1＜a＜b时有
      {
      f(a)=1-
      1
      a
      =
      a
      8
      f(b)=1-
      1
      b
      =
      b
      8
      ，即a，b是方程x2-8x+8=0的两个根，
      解得 a=4-2
      √2
      ，b=4+2
      √2
      ，（13分）
      综上，存在a=4-2
      √2
      ，b=4+2
      √2
      满足题意．（14分）
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