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  • 已知f(x)=x+ax(a＞0)，当x∈[1，3]时，f（x）的值域为A，且A?[n，m]（n＜m）．（1）若a=1，求m-n的最小值；（2）若m=16，n=8，求a的值；（3）若m-n≤1，且A=[n，m]，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=x+
      a
      x
      (a＞0)，当x∈[1，3]时，f（x）的值域为A，且A?[n，m]（n＜m）．
      （1）若a=1，求m-n的最小值；
      （2）若m=16，n=8，求a的值；
      （3）若m-n≤1，且A=[n，m]，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）在区间[1，3]上单调递增，∴f（x）∈[f（1），f（3）]，…（3分）
      ∴当x∈[1，3]时，m-n≥f(3)-f(1)=
      4
      3
      ，即m-n的最小值是
      4
      3
      ．…（5分）
      （Ⅱ）由题意可得，当m=16时，x+
      a
      x
      ≤16恒成立，即当x∈[1，3]时，a≤16x-x2恒成立，
      ∴a≤（-x      2+16x）min =15．…（7分）
      当n=8时，x+
      a
      x
      ≥8恒成立，即当x∈[1，3]时，a≥8x-x2恒成立，∴a≥（-x2+8x）max =15．…（9分）
      综上可得：a=15．…（10分）
      （Ⅲ）①若
      √a
      ≤1，即0＜a≤1时，f(x)=x+
      a
      x
      在[1，3]单调递增，
      ∴
      {
      1≥m-n≥f(3)-f(
      √a
      )=
      2a
      3
      -2
      0＜a≤1
      ，a无解．…（11分）
      ②当1＜
      √a
      ＜3，即1＜a＜9时，f(x)=x+
      a
      x
      在[1，
      √a
      ]递减，在[
      √a
      ，3]递增，
      ∴
      {
      1≥m-n≥f(3)-f(
      √a
      )1≥m-n≥f(1)-f(
      √a
      )1＜a＜9
      ，∴
      {
      3-
      √3
      ≤
      √a
      ≤3+
      √3
      0≤
      √a
      ≤21＜a＜9
      ，
      {
      (3-
      ???3
      )2≤a≤(3+
      √3
      )20≤a≤41＜a＜9
      ，12-6
      √3
      ≤a≤4．…（13分）
      ③当
      √a
      ≥3，即a≥9时，函数f（x）在区间[1，3]上单调递减，
      ∴
      {
      1≥m-n≥f(1)-f(3)=
      2
      3
      a-2
      a≥9
      ，a无解；…（14分），
      综上可得：12-6
      √3
      ≤a≤4．…（16分）
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