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  • 阅读不等式2x+1＞3x的解法：设f(x)=(23)x+(13)x，函数y=(23)x和y=(13)x在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．∵f（1）=1，∴当x＜1时，(23)x+(13)x＞1，当x≥1时，(23)x+(13)x≤1．∵3x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解为x＜1；（1）试利用上面的方法解不等式2x+3x≥5x；（2）证明：3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      阅读不等式2x+1＞3x的解法：
      设f(x)=(
      2
      3
      )x+(
      1
      3
      )x，函数y=(
      2
      3
      )x和y=(
      1
      3
      )x在R内都单调递减；则f（x）在（-∞，+∞）内单调递减．
      ∵f（1）=1，∴当x＜1时，(
      2
      3
      )x+(
      1
      3
      )x＞1，当x≥1时，(
      2
      3
      )x+(
      1
      3
      )x≤1．
      ∵3      x＞0，∴不等式2^+1＞3x的解为x＜1；
      （1）试利用上面的方法解不等式2      x+3x≥5x；
      （2）证明：3      x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设g(x)=(
      2
      5
      )x+(
      3
      5
      )x，函数y=(
      2
      5
      )x和y=(
      3
      5
      )x在R内都单调递减；则g（x）在（-∞，+∞）内单调递减，
      ∵g（1）=1，当x≤1时，      (
      2
      5
      )x+(
      3
      5
      )x≥1，当x＞1时，(
      2
      5
      )x+(
      3
      5
      )x＜1；
      ∴不等式2      x+3x≥5x的解集为：{x|x≤1}；
      （2）令h(x)=      (
      3
      5
      )x+(
      4
      5
      )x，函数y=(
      3
      5
      )x和y=(
      4
      5
      )x在R内都单调递减；则h（x在（-∞，+∞）内单调递减，
      ∵h（2）=2，当x＜2时，      (
      3
      5
      )x+(
      4
      5
      )x＞1，当x＞2时，(
      3
      5
      )x+(
      4
      5
      )x＜1；
      ∴有且只有一个实数x=2使得      (
      3
      5
      )x+(
      4
      5
      )x=1，即3x+4x=5x有且仅有一个实数解x=2．
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