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  • 关于函数f（x）=2x1+|x|（x∈R）有如下结论：①f（x）是偶函数；②函数f（x）的值域为（-2，2）；③f（x）在R上单调递增；④函数|f（x+1）|的图象关于直线x=1对称；其中正确结论的序号有 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      关于函数f（x）=
      2x
      1+|x|
      （x∈R）有如下结论：
      ①f（x）是偶函数；
      ②函数f（x）的值域为（-2，2）；
      ③f（x）在R上单调递增；
      ④函数|f（x+1）|的图象关于直线x=1对称；
      其中正确结论的序号有                ．

      试题解答

      ②③
      解：①因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称．f(-x)=
      -2x
      1+|-x|
      =-
      2x
      1+|x|
      =-f(x)，所以函数f（x）是奇函数，所以①错误．
      ②当x=0时，f（x）=0．
      当x＞0时，f(x)=
      2x
      1+x
      =
      2(1+x)-2
      1+x
      =2-
      2
      1+x
      ，此时0＜f（x）＜2．
      当x＜0时，f(x)=
      2x
      1-x
      =
      2(x-1)+2
      1-x
      =-2+
      2
      1-x
      =-2-
      2
      x-1
      ，此时-2＜f（x）＜0．
      综上-2＜f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（-2，2），所以②正确．
      ③当x＞0时，f(x)=
      2x
      1+x
      =
      2(1+x)-2
      1+x
      =2-
      2
      1+x
      ，此时函数单调递增，由①知函数f（x）为奇函数，
      所以f（x）在R上单调递增，所以③正确．
      ④因为|f(x)|=
      2|x|
      1+|x|
      为偶函数，所以|f（x）|关于y轴对称，将|f（x）|向左平移1个单位得到|f（x+1）|，
      所以函数|f（x+1）|的图象关于直线x=-1对称，所以④错误．
      故答案为：②③．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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