已知函数f（x）=x2+cax+b为奇函数，满足f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤32 的解集是[-2，-1]∪[2，4]．（1）求a，b，c的值；（2）对一切θ∈R，不等式f（-2+sinθ）≤m-32都成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

x²+c

ax+b

为奇函数，满足f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤

的解集是[-2，-1]∪[2，4]．
（1）求a，b，c的值；
（2）对一切θ∈R，不等式f（-2+sinθ）≤m-

都成立，求实数m的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（x）=

x²+c

ax+b

为奇函数∴

(-x)²+c

a(-x)+b

x²+c

ax+b

，解得b=0．…（2分）
∵式0≤f（x）≤

的解集中包含2和-2，
∴

{	f(2)≥0 f(-2)=-f(2)≥0

即得f（2）=0=

2²+c

，所以c=-4 …（4分）
∵f（1）＜f（3），f（1）=-

，f（3）=-

，
∴-

＜

，所以a＞0…（5分）
下证：当a＞0时，在（0，+∞）上f（x）=

x²-4

是增函数．
在（0，+∞）内任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么f（x₁）-f（x₂）=

x₁

ax₁

x₂

ax₂

（x₁-x₂）（1+

x₁x₂

）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴当a＞0时，在（0，+∞）上，f（x）=

x²-4

是增函数．
所以，f（2）=0，f（4）=

4²-4

，解得a=2．
综上所述：a=2，b=0，c=-4，f（x）=

x²-4

…（7分）
（2）∵f（x）=

x²+c

ax+b

为奇函数∴f（x）=

x²+c

ax+b

在（-∞，0）上也是增函数．…（8分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，∴f（-3）≤f（-2+sinθ）≤f（-1）=

…（10分）
而m-

≥

…（12分）
所以，m≥3时，不等式f（-2+sinθ）≤m-

对一切θ∈R成立．…（13分）

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必修1 人教A版单选题高中数学

已知函数f（x）=x2+cax+b为奇函数，满足f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤32 的解集是[-2，-1]∪[2，4]．（1）求a，b，c的值；（2）对一切θ∈R，不等式f（-2+sinθ）≤m-32都成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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