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  • 设函数f（x）=a3x3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若函数f（x）为奇函数，求b的值；（2）在（1）的条件下，若a=-3，函数f（x）在[-2，2]的值域为[-2，2]，求f（x）的零点；（3）若不等式axf′（x）≤f（x）+1对一切x∈R恒成立，求a+b+c的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）=
      a
      3
      x3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）．
      （1）若函数f（x）为奇函数，求b的值；
      （2）在（1）的条件下，若a=-3，函数f（x）在[-2，2]的值域为[-2，2]，求f（x）的零点；
      （3）若不等式axf′（x）≤f（x）+1对一切x∈R恒成立，求a+b+c的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），解得b=0． …（2分）
      （2）由（1）可知f（x）=-x      3+cx，∴f′（x）=-3x2+c．
      ①若c≤0，则f′（x）≤0恒成立，则f（x）单调递减，
      又函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-2，2]，∴
      {
      f(-2)=2
      f(2)=-2
      ，此方程无解．…（4分）
      ②若c＞0，则f′(x)=0?x=±
      √
      c
      3

      （ⅰ）若
      √
      c
      3
      ＞2，即c＞12时，函数f（x）在[-2，2]上单调递增，∴
      {
      f(2)=2
      f(-2)=-2
      ，此方程组无解； …（6分）
      （ⅱ）
      √
      c
      3
      ≤2≤2
      √
      c
      3
      时，即3≤c≤12时，∴
      {
      f(
      √
      c
      3
      )=2
      f(-
      √
      c
      3
      )=-2
      ，所以c=3；…（8分）
      （ⅲ）2＞2
      √
      c
      3
      时，即c＜3时，∴
      {
      f(2)=-2
      f(-2)=2
      ，此方程组无解．
      综上可得c=3，∴f（x）=-x      3+3x的零点为：x1=0，x2=-
      √3
      ，x3=
      √3
      ． …（10分）
      （3）由题设得(
      a
      3
      -a2)x3+(b-2ab)x2+(c-ac)x+1≥0恒成立．
      记F(x)=(
      a
      3
      -a2)x3+(b-2ab)x2+(c-ac)x+1，
      若
      a
      3
      -a2≠0，则三次函数F（x）至少有一个零点x0，且在x0左右两侧异号，
      所以原不等式不能恒成立；
      所以
      a
      3
      -a2=0，∴a=
      1
      3
      ，此时F(x)=
      b
      3
      x2+
      2c
      3
      x+1≥0恒成立等价于：10．b=c=0或者20.
      {
      b＞0
      △≤0
      ?c2≤3b
      在1      0中a+b+c=
      1
      3

      在2      0中a+b+c=
      1
      3
      +b+c=t，所以c2≤3t-3c-1?3t≥c2+3c+1，∴3t≥(c2+3c+1)min=-
      5
      4

      综上a+b+c的取值范围是[-
      5
      12
      ，+∞)． …（16分）
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