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  • 设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x3-ax（a∈R）．（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x3-ax（a∈R）．
      （1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
      （2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
      （3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？

      试题解答

      见解析
      解：（I）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
      f(-x)=-x      3+ax，f(x)为偶函数，f(x)=-x3+ax x∈(0，1]．----------（3分）
      （II）f'（x）=-3x      2+a，∵x∈（0，1]?3x2∈[-3，0），
      又a＞3，∴a-3x      2＞0，即f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上为增函数．-------------------7 分
      （III）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，f      max（x）=f（1）=a-1=1?a=2．
      （不合题意，舍去）---8 分
      当0≤a≤3时，f′(x)=a-3x      2，令f′(x)=0，x=
      √
      a
      3
      ．如下表：
      x (0，
      √
      a
      3
      )
      √
      a
      3
      		(
      √
      a
      3
      ，1)
      f'（x） + 0 -
      f（x） 最大值
      ∴f(x)在x=
      √
      a
      3
      处取最大值-(
      √
      a
      3
      )3+a
      √
      a
      3
      =1，?a=
      3√
      27
      4
      ＜3?x=
      √
      a
      3
      ＜1．------（10分）
      当a＜0时，f'（x）=a-3x      2＜0，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．
      ∴存在a=
      3√
      27
      4
      ，使f(x)在(0，1]上有最大值1．--------------------------（12分）
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