已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1-x）．（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）判断函数f（x）-g（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1-x）．
（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断函数f（x）-g（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论．

试题解答

见解析

解：（1）由x+1＞0且1-x＞0，得-1＜x＜1，因此函数定义域为{x|-1＜x＜1}；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），则F（-x）=f（-x）-g（-x）=lg（-x+1）-lg（1+x）=-F（x），
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函数；
（3）函数f（x）-g（x）在定义域上为增函数．
设f（x）-g（x）=lg

x+1

1-x

，令h（x）=

x+1

1-x

设-1＜x₁＜x₂＜1，则h（x₁）-h（x₂）=

x₁+1

1-x₁

x₂+1

1-x₂

2(x₁-x₂)

(1-x₁)(1-x₂)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴

2(x₁-x₂)

(1-x₁)(1-x₂)

＜0，∴h（x₁）-h（x₂）＜0，
∴h（x）在（-1，1）上为增函数???
∴f（x）-g（x）在（-1，1）上为增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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