定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1．（1）求f（x）在-1，1上的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且x∈（0，1）时，f（x）=

2^x

4^x+1

．
（1）求f（x）在-1，1上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明．

见解析

解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=

2^-x

4^-x+1

2^x

4^x+1

．
又f（0）=-f（-0）=-f（0），∴f（0）=0，
f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（-1）=-f（1）．
∴f（1）=-f（-1）=f（-1）=0．
∴f（x）=

{

2^x

4^x+1

，x∈(-1，0)

0 ，x=0或=±1

2^x

，x∈(0，1)

（2）f（x）在（0，1）上是减函数．
证明如下：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

2^x₁

4^x₁+1

2^x₂

4^x₂+1

(2^x₂-2^x₁)(2^x₁2^x₂-1)

(4^x₁+1)(4^x₂+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，∴2^x₂-2^x₁＞0．
又当0＜x₁，x₂＜1时，2^x₁×2^x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上单调递减．

标签