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已知函数f(x)=2x-12x+1．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）利用函数单调性的定义证明：f（x）是其定义域上的增函数．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）为奇函数．证明如下：
∵2^x+1≠0，
∴f（x）的定义域为R，
又∵f(-x)=

2^-x-1

2^-x+1

=

1-2^x

1+2^x

=-

2^x-1

2^x+1

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）f(x)=1-

2

2^x+1

，
任取x₁、x₂∈R，设x₁＜x₂，
∵f(x₁)-f(x₂)=(1-

2

2^x₁+1

)-(1-

2

2^x₂+1

)=2(

1

2^x₂+1

-

1

2^x₁+1

)=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
∵x₁＜x₂∴2^x₁＜2^x₂，∴2^x₁-2^x₂＜0，又2^x₁+1＞0，2^x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在其定义域R上是增函数．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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