已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且它们的定义域都为（-1，1），又f(x)+g(x)=1x+1．（1）求f（x）和g（x）的表达式；（2）判断g（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且它们的定义域都为（-1，1），又f(x)+g(x)=

x+1

．
（1）求f（x）和g（x）的表达式；
（2）判断g（x）在区间（-1，1）上的单调性，并用定义证明你的结论．

见解析

解：（1）∵f（x）是偶函数，g???x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵f(x)+g(x)=

x+1

①
∴f（-x）+g（-x）=

1-x

即f（x）-g（x）=

1-x

②
①②联立可得f（x）=

1-x²

，g（x）=

x²-1

（2）g（x）在（-1，1）单调递减，证明如下：
∵g（x）=

x²-1

，
令h（x）=x-

，设0＜x₁＜x₂＜1
则h（x₁）-h（x₂）=x₁-

x₁

-x₂+

x₂

=（x₁-x₂）+（

x₂

x₁

）=(x₁-x₂)(1+

x₁x₂

)
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1+

x₁x₂

＞0
∴(x₁-x₂)(1+

x₁x₂

)＜0即h（x₁）＜h（x₂）
∴h（x）在（0，1）上单调递增h（x）＜0，g（x）＜0
根据奇函数的对称性可知h（x）在（-1，0）上单调递增h（x）＞0，g（x）＞0
∵g（0）=0
∴g（x）在（-1，1）单调递减

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