已知函数f(x)={√x-1，x≥11-√x，0≤x＜1（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求√a+√b的值；（2）是否存在[a，b]?[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）？如果存在，请求出m的取值范围；反之，请说明理由．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

{	√x -1，x≥1 1- √x ，0≤x＜1

（1）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

√a

√b

的值；
（2）是否存在[a，b]?[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）？如果存在，请求出m的取值范围；反之，请说明理由．

见解析

解：（1）y=f（x）在[0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）
可得0＜a＜1＜b，且1-

√a

√b

-1，
∴

√a

√b

=2；
（2）假设存在[a，b]?[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）
由[a，b]?（1，+∞），y=f（x）在（1，+∞）上为增函数，有

{	√a -1=ma √b -1=mb

，此时a，b是方程mx-

√x

+1=0的两个根，
而m=-

√x

，x＞1，令t=

√x

∈（0，1），m=-t²+t，?0＜m＜

，
或t=

√x

∈（0，1），g（t）=mt²-t+1，有

{

m＞0

＞0

g(1)＞0

g(0)＞0

?0＜m＜

，
故存在[a，b]?[1，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[ma，mb]（m≠0）．m的取值范围为：（0，

）．

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