已知定义在R上的函数f(x)=a-12x+1是奇函数，其中a为实数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性并证明；（3）当m+n≠0时，证明f(m)+f(n)m+n＞f(0)．试题及答案-单选题-云返教育

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已知定义在R上的函数f(x)=a-

2^x+1

是奇函数，其中a为实数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性并证明；
（3）当m+n≠0时，证明

f(m)+f(n)

m+n

＞f(0)．

见解析

解：（1）∵定义在R上的函数f(x)=a-

2^x+1

是奇函数，
∴f（0）=a-

=0，∴a=

．
（2）由（1）可得，f（x）=

2^x+1

，它在定义域R上是增函数．
证明：设x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

2^x₂+1

2^x₁+1

2^x₁-2^x₂

(2^x₁+1)(2 ^x₂+1)

，
由题设可得0＜2^x₁＜2^x₂，2^x₁-2^x₂＜0，
∴

2^x₁-2^x₂

(2^x₁+1)(2 ^x₂+1)

＜0，故函数f（x）在R上是增函数．
（3）由于函数f（x）在R上是增函数，
故函数表示的曲线上任意两点连线的斜率大于零，
故当m≠n时，

f(m)-f(n)

m-n

＞0，
换元可得

f(m)-f(-n)

m-(-n)

＞0=f（0），
即

f(m)+f(n)

m+n

＞f(0)．
∴要证的不等式成立．

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