已知函数f（x）=2x-12x+1．（1）证明：f（x）在R上单调增；（2）判断f（x）与f（-x）的关系，若对任意的t∈[1，3]，不等式f（t2-2kt）+f（2t2-k）＞0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=

2^x-1

2^x+1

．
（1）证明：f（x）在R上单调增；
（2）判断f（x）与f（-x）的关系，若对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）=1-

2^x+1

，
在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2^x₁+1

）-（1-

2^x₂+1

）
=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

，
因为x₁＜x₂，所以0＜2^x₁＜2^x₂，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在R上单调递增．
（2）f（-x）=

2^-x-1

2^-x+1

1-2^x

1+2^x

2^x-1

2^x+1

=-f（x），
即f（x）=-f（-x），
不等式f（t²-2kt）+f（2t²-k）＞0可化为f（2t²-k）＞-f（t²-2kt），即f（2t²-k）＞f（2kt-t²），
又f（x）在R上单调递增，所以2t²-k＞2kt-t²，即3t²-2kt-k＞0，
则问题转化为不等式3t²-2kt-k＞0在t∈[1，3]上恒成立，也即k＜

3t²

2t+1

在t∈[1，3]上恒成立，
令g（t）=

3t²

2t+1

t∈[1，3]，则g′（t）=

6t²+6t

(2t+1)²

＞0，
所以g（t）在[1，3]上单调递增，g（t）_min=g（1）=1，
所以k＜1，即k的取值范围是（-∞，1）．

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已知函数f（x）=2x-12x+1．（1）证明：f（x）在R上单调增；（2）判断f（x）与f（-x）的关系，若对任意的t∈[1，3]，不等式f（t2-2kt）+f（2t2-k）＞0恒成立，求k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题