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  • 棱长为1的正四面体内切球的表面积为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      棱长为1的正四面体内切球的表面积为（　　）

      试题解答

      A
      解：设正四面体S-ABCD如图所示，
      可得它的内切球的球心0必定在高线SH上
      延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO
      ∵H是正三角形ABC的中心
      ∴AH：HD=2：1
      ∵Rt△0AH∽Rt△DSH
      ∴
      OA
      OH
      =
      DS
      DH
      =3，可得OA=30H=S0
      因此，SH=4OH，可得内切球的半径OH=
      1
      4
      SH
      ∵正四面体棱长为1
      ∴Rt△SHD中，SD=
      √3
      2
      ，HD=
      1
      3
      SD=
      √3
      6

      可得SH=
      √SD2-HD2
      =
      √6
      3
      ，得内切球的半径r=OH=
      1
      4
      ×
      √6
      3
      =
      √6
      12

      因此正四面体内切球的表面积为S=4πr      2=
      π
      6

      故选：A
      标签
      必修3湘教版单选题高中数学

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