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  • 若直线y=x+t与椭圆x24+y2=1相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      若直线y=x+t与椭圆
      x2
      4
      +y2=1相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：以y=x+t代入
      x2
      4
      +y2=1，并整理得5x2+8tx+4t2-4=0①
      因为直线与椭圆相交，则△=64t      2-20（4t2-4）＞0，…（3分）
      所以t      2＜5，即-
      √5
      ＜t＜
      √5
      ，…（3分）
      设A（x      1，y1），B（x2，y2），则A（x1，x1+t），B（x2，x2+t），且x1，x2是方程①的两根．由韦达定理可得：
      {
      x1+x2=-
      8t
      5
      x1?x2=
      4(t2-1)
      5
      ，…（6分）
      所以，弦长|AB|      2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2(x1-x2)2=2[(x1+x2)2-4x1?x2]=2[(-
      8t
      5
      )2-4?
      4(t2-1)
      5
      ]…（9分）
      所以|AB|=
      4
      5
      √2
      ?
      √5-t2
      ，
      所以当t=0时，|AB|取最大值为
      4
      5
      √10
      ．…（12分）
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