已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）若方程f(x)=log4(a?2x-a)有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．试题及答案-解答题-云返教育

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已知函数f(x)=log₄(4^x+1)+kx(k∈R)为偶函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若方程f(x)=log₄(a?2^x-a)有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．

见解析

解：（I）因为f（x）为偶函数，
所以f（-x）=f（x）
∴log₄(4^-x+1)-kx=log₄(4^x+1)+kx
整理可得（2k+1）x=0
∴k=-

（II）依题意知：log₄(4^x+1)-

x=log₄(a2^x-a)（*）
?

{	4^x+1=(a?2^x-a)?2^x (a?2^x-a)＞0

令t=2^x则*变为（1-a）t²+at+1=0只需其有一正根．
（1）a=1，t=-1不合题意
（2）（*）式有一正一负根

{

△=a²-4(1-a)＞0

t₁t₂=

1-a

＜0

经验证满足a?2^x-a＞0∴a＞1
（3）两相等△=0?a=±2

√2

-2
经验证a?2^x-a＞0
∴a=-2-2

√2

综上所述a＞1或a=-2-2

√2

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