①③④
解：由函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x无实数根，可知：
①f[f（x）]=x也一定没有实数根；正确；
②若a＜0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的下方，必有f[f（x0）]＜x0，故②错误；
③若a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的上方，不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；正确；
④同理可分析③正确；
由a+b+c=0，可得f（1）=0，结合题意可知a＜0，函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象必在y=x的下方，④正确．
故答案为：①③④．
