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  • 设f（x）=3ax2-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．（1）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；（2）若a，b，c都为正整数，求a+b+c的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设f（x）=3ax2-2bx+c，若a-b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
      （1）求证：方程f（x）=0在区间（0，1）内有两个不等的实数根；
      （2）若a，b，c都为正整数，求a+b+c的最小值．

      试题解答

      见解析
      证明：（1）f（0）=c＞0①，
      f（1）=3a-2b+c＞0②，a-b+c=0③，
      由①③得：a-b＜0?a＜b④，由②③得：2a-b＞0?2a＞b⑤，
      由④⑤得：2a＞b＞a⑥，∵b=a+c代入②得：a＞c∴a＞0
      ∴由⑤得：1＜
      b
      a
      ＜2…（4分）
      ∵对称轴x=
      b
      3a
      ∈(
      1
      3
      ，
      2
      3
      )，
      又f（0）＞0，f（1）＞0
      且△=4b      2-12ac=4（a+c）2-12ac=（2a-c）2+3c2＞0
      ∴方程f（x）=0在（0，1）内有两个不等实根．…（10分）
      （2）若a，b，c都为正整数，f（0）、f（1）都是正整数，
      设f（x）=3a（x-x      1）（x-x2），其中x1，x2是f（x）=0的两根，
      则x      1，x2∈（0，1），且x1≠x2
      ∵1≤f(0)f(1)=9a      2x1(1-x1)x2(1-x2)＜
      9a2
      16

      ∴9a      2＞16，a为正整数，
      ∴a≥2，
      ∴a+b+c≥2+（2+c）+c=4+2c≥6…（15分）
      若取a=2，则
      b
      a
      =
      b
      2
      ∈(1，2)得：b∈（2，4）
      ∵b为正整数，∴b=3，c=b-a=1f（x）=6x      2-6x+1=0的两根都在区间（0，1）内，
      ∴a+b+c的最小值为6．…（18分）
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      必修1人教A版单选题高中数学

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