设f（2x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈(0，14]∪[4，+∞)，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（4，8]上的最大值为1，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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设f（2^x）=x²+bx+c（b，c∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈(0，

]∪[4，+∞)，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（4，8]上的最大值为1，求b的取值范围．

试题解答

见解析

解：（1）∵f（2^x）=x²+bx+c，设2^x=t（t＞0），则x=log₂t，
∴f(t)=(log₂t)²+b(log₂t)+c，
∴f(x)=(log₂x)²+b(log₂x)+c(x＞0)；
（2）当x∈(0，

]∪[4，+∞)，log₂x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），
当x∈（4，8]，log₂x∈（2，3]，已知条件转化为：
f（m）=m²+bm+c，当|m|≥2时，f（m）≥0，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1．
首先：函数图象为开口向上的抛物线，且f（m）在区间（2，3]上的最大值为1．
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
其次：当|m|≥2时，f（m）≥0，有两种情形：
Ⅰ）若f（m）=0有实根，则△=b²-4c≥0，
且在区间[-2，2]有

{

f(-2)≥0

f(2)≥0

-2≤

≤2

，即

{	4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

，消去c，解出

{

b≤-

b≤-4

-4≤b≤4

；
即b=-4，此时c=4，且△=0，满足题意．
Ⅱ）若f（m）=0无实根，则△=b²-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上Ⅰ）Ⅱ）得：b的取值范围是{b|-5≤b≤-4}．

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必修1 人教A版单选题高中数学

设f（2x）=x2+bx+c（b，c∈R）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈(0，14]∪[4，+∞)，恒有f（x）≥0，且f（x）在区间（4，8]上的最大值为1，求b的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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