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  • 已知f(x)=√x，g（x）=x+a （a＞0）（1）当a=4时，求|f(x)-ag(x)f(x)|的最小值（2）当1≤x≤4时，不等式|f(x)-ag(x)f(x)|＞1恒成立，求a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知f(x)=
      √x
      ，g（x）=x+a （a＞0）
      （1）当a=4时，求|
      f(x)-ag(x)
      f(x)
      |的最小值
      （2）当1≤x≤4时，不等式|
      f(x)-ag(x)
      f(x)
      |＞1恒成立，求a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=4时，|
      f(x)-ag(x)
      f(x)
      |=|
      √x
      -4x -16
      √x
      |=|1-(4
      √x
      +
      16
      √x
      ) |
      ∵
      √x
      ＞0，∴4
      √x
      +
      16
      √x
      ≥ 16，当
      √x
      =
      4
      √x
      ，即x=4时，取“=”号
      故|
      f(x)-ag(x)
      f(x)
      |的最小值为15；
      （2）|
      f(x)-ag(x)
      f(x)
      |=|
      √x
      -ax -a2
      √x
      |=|1-(a
      √x
      +
      a2
      √x
      ) |（1≤x≤4）
      设t=
      √x
      ，则问题等价于|1-(at+
      a2
      t
      ) |＞1，t∈[1，2]时恒成立，
      即at+
      a2
      t
      ＜0或at+
      a2
      t
      ＞2，t∈[1，2]时恒成立，
      令 h(t)=a(t+
      a
      t
      )，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2或最大值小于0即可，
      由函数 y=x+
      a
      x
      的单调性知
      {
      √a
      ＞2
      h(t)min=h(2)＞2
      或
      {
      1≤
      √a
      ≤2
      h(t)min=h(
      √a
      )＞2
      或
      {
      0＜
      √a
      ＜1
      h(t)min=h(1)＞2
      ，
      {
      √a
      ＞2
      h(t)max=h(1)＜0
      或
      {
      1≤
      √a
      ≤2
      h(t)max=h(1)＜0
      h(2)＜0
      或
      {
      0＜
      √a
      ＜1
      h(t)max=h(2)＜0
      或a＜0
      解得a＞1或a＜0
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