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  • 已知函数f（x）=agx，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图象和与坐标轴的交点处的切线为l1，函数y=g（x）在其图象与坐标轴的交点处的切线为l2，l1平行于l2．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）若关于x的不等式x-mg(x)＞√x恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=agx，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，函数y=f（x）在其图象和与坐标轴的交点处的切线为l1，函数y=g（x）在其图象与坐标轴的交点处的切线为l2，l1平行于l2．
      （1）求函数y=g（x）的解析式；
      （2）若关于x的不等式
      x-m
      g(x)
      ＞
      √x
      恒成立，求实数m的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f′(x)=aex，g′(x)=
      1
      x
      ．
      y=f（x）的图象与坐标轴交于点（0，a）；y=g（x）的图象与坐标轴交于点（a，0），
      ∴f′（0）=g′（a）．
      ∴a=
      1
      a
      ．
      ∵a＞0，∴a=1
      ∴g（x）=lnx．
      （2）①当x＞1时，由
      x-m
      lnx
      ＞
      √x
      得 m＜x-
      √x
      lnx恒成立．
      令 φ(x)=x-
      √x
      lnx，则 φ′(x)=
      2
      √x
      -2-lnx
      2
      √x
      ．
      令 h(x)=2
      √x
      -2-lnx，则 h′(x)=
      1
      √x
      (1-
      1
      √x
      )＞0，
      ∴h（x）在[1，+∞）上递增．
      ∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
      ∴φ′（x）＞0．
      ∴φ（x）在[1，+∞）上递增．
      ∴m≤φ（1）=1．
      ②当0＜x＜1时，由
      x-m
      lnx
      ＞
      √x
      得 m＞x-
      √x
      lnx即m＞φ（x）恒成立．
      同①可得φ（x）在（0，1]上递减．
      ∴m≥φ（1）=1．
      综合①②得m=1．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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